|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Re: Coordinaten top van 2e graads formule
Beste
Kunt u me op weg helpen met volgende stelling te bewijzen?
tan(x+y) + tan(x-y) = (sin2x)/(cos2x-sin2y)
Ik moet de verdubbelingsformules toepassen, maar het lukt me echt niet...
Alvast bedankt!
Antwoord
Hallo Charlotte,
We hebben:
$tan(x+y)=\frac{sin(x+y)}{cos(x+y)}=\frac{sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)}{cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)}$
evenzo:
$tan(x-y)=\frac{sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)}{cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)}$.
Nu moeten we deze twee gelijknamig maken. Ik vermeningvuldig teller en noemer van de een met de noemer van de ander. Ik begin eens met de eerste uit te werken.
$tan(x+y)=\frac{(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))(cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))}{(cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y))(cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))}$
Eerst ga ik even de teller uitwerken:
$(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))(cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))=$
$cos(x)sin(x)sin^2(y)+sin^2(x)cos(y)sin(y)+cos^2(x)cos(y)sin(y)+cos(x)sin(x)cos^2(y)=$
$cos(x)sin(x)(sin(y)^2+cos^2(y))+(sin^2(x)+cos^2(x))cos(y)sin(y)=$
$sin(x)cos(x)+sin(y)cos(y)$
Vervolgens de noemer:
$(cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y))(cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))=$
$cos^2(x)cos^2(y)-sin^2(x)sin^2(y)$
En nu een truc - ik tel in het midden iets op en trek hetzelfde weer af:
$cos^2(x)cos^2(y)-sin^2(x)sin^2(y)$
$cos^2(x)cos^2(y)+cos^2(x)sin^2(y)-cos^2(x)sin^2(y)-sin^2(x)sin^2(y) =$
$cos^2(x)(cos^2(y)+sin^2(y))-(cos^2(x)+sin^2(x))sin^2(y)=$
$cos^2(x)-sin^2(y)$
Dus we hebben dat:
$tan(x+y)=\frac{sin(x)cos(x)+sin(y)cos(y)}{cos^2(x)-sin^2(y)}$.
Op dezelfde manier vinden we:
$tan(x-y)=\frac{sin(x)cos(x)-sin(y)cos(y)}{cos^2(x)-sin^2(y)}$.
Opgeteld:
$tan(x+y)+tan(x-y)=\frac{2sin(x)cos(x)}{cos^2(x)-sin^2(y)}$,
en jij mag de laatste stap zetten.
Met vriendelijke groet,
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
